Question

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是菱形，∠ABC=60°，E、F分別是棱CC′與BB′上的點(diǎn)，且EC=BC=2FB=2．
（1）求證：平面AEF⊥平面AA′C′C；
（2）求截面AEF與底面ABCD的夾角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，證明線面垂直，進(jìn)而證明面面垂直；
（2）先確定二面角的平面角，再計(jì)算二面角的平面角即可．
解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OO′分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系，
由條件知：EC=BC=2，F(xiàn)B=1，OA=1，OB=，從而坐標(biāo)E（0，1，2），F(xiàn)（，0，1）．
（1）連接AE與OO'交于M，連接MF，
可得，M（0，0，1），=（，0，0）．
則MF⊥平面yOz，即MF⊥平面A'ACC'，
所以平面AEF⊥平面A'ACC'．
（2）取EC中點(diǎn)G，得平面MFG∥底面ABCD，
所以只要求面AEF與面MFG所成的二面角即可．
∵G（0，1，1），，
∴
∴
∴∠EMG是二面角的平面角
在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=，∴，∴所求角為．
點(diǎn)評：本題考查利用向量方法解決面面垂直、面面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量．