Question

（2011•通州區(qū)一模）銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，已知sin(B+C)=cos(C-B)=

4

5

，且b＜c．
（I） 求cosA的值；
（II）試用B+C與C-B表示出B，并求內(nèi)角B的度數(shù)；
（III）若b=5，求a邊的長(zhǎng)和△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的內(nèi)角和及同角三角函數(shù)的關(guān)系，即可求cosA的值；
（II）根據(jù)2B=（B+C）-（C-B），利用差角的正弦公式，可求B；
（III）利用正弦定理，可求a邊的長(zhǎng)；求出sinC，利用三角形的面積公式，可求△ABC的面積．

解答：解：（I）由題意，sinA=sin[180°-（B+C）]=sin（B+C）=

4

5

，
∵A為銳角，
∴cosA=

1-sin2A

=

3

5

；
（II）∵2B=（B+C）-（C-B）
∴sin2B=sin[（B+C）-（C-B）]=sin（B+C）cos（C-B）-cos（B+C）sin（C-B）=

16

25

+

3

5

•

3

5

=1
∴B=45°
（III）∵

a

sinA

=

b

sinB

，∴a=

bsinA

sinB

=

5• 4 5

2 2

=4

2

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

•

2

2

+

3

5

•

2

2

=

7 2

10

，b=5
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×4

2

×5×

7 2

10

=14

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．