Question

19．如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且FD=$\frac{1}{2}$EA=1．則直線EB與平面ECF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，求出平面CEF的法向量，計(jì)算$\overrightarrow{BE}$與法向量的夾角余弦值即可得出所求答案．

解答 解：建立空間坐標(biāo)系如圖所示：
則B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（0，2，1）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{EF}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{CF}$=（-2，0，1），
設(shè)平面CEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{EF}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y-z=0}\\{-2x+z=0}\end{array}\right.$，令z=2得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線EB與平面ECF所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．