【題目】已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的最大值；

（2）證明：對(duì)任意的.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，已知切線方程說明，，代入后可得，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出最大值；

（2）不等式為，可用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，證明這個(gè)最小值大于0，即證得原不等式成立．

詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，因的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以解得，所以，故．令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

（2）證明：原不等式可變?yōu)?/span>則

，可知函數(shù)單調(diào)遞增，

而，

所以方程在（0，+∞）上存在唯一實(shí)根x0，使得．

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；所以

.

即在（0，+∞）上恒成立，

所以對(duì)任意x＞0，成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可．為了調(diào)查人們對(duì)這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到了一個(gè)市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：

附：，．

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（ ）

A. 沒有95% 以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

B. 有99% 以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

C. 可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

D. 可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽，齊王獲勝的概率是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】城市公交車的數(shù)量太多造成資源的浪費(fèi),太少又難以滿足乘客需求,為此,某市公交公司在某站臺(tái)的60名候車乘客中隨機(jī)抽取15名,將他們的候車時(shí)間(單位:分鐘)作為樣本分成5組,如下表所示:

組別

候車時(shí)間

人數(shù)

一

[0,5)

2

二

[5,10)

6

三

[10,15)

4

四

[15,20)

2

五

[20,25]

1

(1)求這15名乘客的平均候車時(shí)間

(2)估計(jì)這60名乘客候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力和判斷力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：

（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)說明與的線性相關(guān)程度；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，參考數(shù)據(jù): ）

（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力．

參考公式：，；相關(guān)系數(shù)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且.求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如頻率分布直方圖：

（1）求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

①利用該正態(tài)分布，求；

②某用戶從該企業(yè)購買了件這種產(chǎn)品，記表示這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用①的結(jié)果，求.

附：.若，則，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】觀察下列等式：

按此規(guī)律，第個(gè)等式可為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價(jià)為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價(jià)為100元/.設(shè)矩形的長為.

（1）設(shè)總造價(jià)（元）表示為長度的函數(shù)；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).

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