Question

已知f（x）=log_a（ax²-ax-1）．
（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍，
（2）函數(shù)值域?yàn)镽，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，即對(duì)任意x∈R，ax²-ax-1＞0恒成立，只要△＜0即可．
（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的值域是R，則y=ax²-ax-1取遍所有大于0的值，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)，列出不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，求解即可得到a的取值范圍；

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（ax²-ax-1）．∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
ax²-ax-1＞0，△=a²+4a，∵定義域?yàn)镽．
∴△＜0，解得-4＜a＜0．
綜上a∈∅
（2）∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²-ax-1），且f（x）的值域?yàn)镽，
根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)ax²-ax-1取遍所有大于0的值時(shí)，f（x）的值域?yàn)镽，
∵a＞0，則y=ax²-ax-1的圖象開(kāi)口向上，
∴△=a²+4a≥0，即a≤-4或a≥0，
又a＞0，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
故a的取值范圍為：（0，1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的值域問(wèn)題．涉及了對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，如果底數(shù)a的值不確定范圍，則需要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類討論，便于研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．屬于中檔題．