Question

如圖，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求證：平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一點P，使得DP與平面ACB₁平行？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,存在型,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）為證AC⊥平面BB₁C₁C，須證AC垂直面內(nèi)兩條相交直線：BB₁和BC即可．前者易證，后者利用計算方法證明即可．由AC?平面ACB₁可證平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）設(shè)P為A₁B₁的中點，證明DCB₁P為平行四邊形，即可證明存在點P，滿足題意．

解答： 證明：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC．（2分）
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=

2

，∠CAB=45°，∴BC=

2

，
∴BC⊥AC．（4分）
又BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．（7分）
∵AC?平面ACB₁
∴平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）存在點P，P為A₁B₁的中點．（8分）
證明：由P為A₁B₁的中點，有PB₁∥AB，且PB₁=

1

2

AB．（10分）
又∵DC∥AB，DC=

1

2

AB，∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，
∴DCB₁P為平行四邊形，從而CB₁∥DP．
又CB₁?面ACB₁，DP?面ACB₁，
∴DP∥面ACB₁．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基本知識的考查．