Question

19．已知定點A（0，1），B（0，-1），C（1，0），動點P滿足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2|$\overrightarrow{CP}$|²，則|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{37}$-3
• B． $\sqrt{37}$+3
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{82}$

Answer 1

分析 設動點的坐標為P（x，y），求得2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$ 的坐標，可得|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|=$\sqrt{36x-6y-26}$．結合（x-2）²+y²=1，則令x=2+cosθ，y=sinθ，化簡36x-6y-26為 6$\sqrt{37}$cos（θ+φ）+46，利用余弦函數(shù)的值域求得它的最大值，可得結論．

解答 解：設動點的坐標為P（x，y），則$\overrightarrow{AP}$=（x，y-1），$\overrightarrow{BP}$=（x，y+1），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，-y）．
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2 ${|\overrightarrow{PC}|}^{2}$，∴x²+y²-1=2[（x-1）²+y²]，
∴x²+y²-4x+3=0，即：（x-2）²+y²=1．
∵2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=2（x，y-1）+（x，y+1）=（3x，3y-1），
∴|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|=$\sqrt{{9x}^{2}+{9y}^{2}-6y+1}$=$\sqrt{36x-6y-26}$．
又∵（x-2）²+y²=1，則令x=2+cosθ，y=sinθ，
于是有36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46
=6$\sqrt{37}$cos（θ+φ）+46∈[46-6$\sqrt{37}$，46+6$\sqrt{37}$]，
故|2$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$|的最大值為 $\sqrt{46+6\sqrt{37}}$=$\sqrt{37}$+3，
故選：B．

點評 本題主要考查兩個向量的坐標形式的運算，兩個向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題．