Question

11．將橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，所得曲線的方程為x²+y²=4．

Answer 1

分析 設P（x′，y′）為所求曲線的任意一點，由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，代入橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$方程即可得出．

解答 解：設P（x′，y′）為所求曲線的任意一點，由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，
代入橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$方程可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}$+$（\frac{{y}^{′}}{2}）^{2}$=1，化為：（x′）²+（y′）²=4，
即所求的曲線方程為：x²+y²=4．
故答案為：x²+y²=4．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、坐標變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．