4．已知函數(shù)f（x）=（x-2）lnx+1．
（1）判斷f（x）的導函數(shù)f′（x）在（1，2）上零點的個數(shù)；
（2）求證f（x）＞0．

分析 （1）求出f（x）的定義域，求出f′（x）的單調(diào)性，從而得到f′（x）在（1，2）的零點個數(shù)；
（2）求出f（x）的單調(diào)性，得到f（x）的最小值，求出其最小值是正數(shù)，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-$\frac{2}{x}$+1，
f″（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，
∴f′（x）在（0，+∞）遞增，
而f′（1）=-1＜0，f′（2）=ln2＞0，
∴f′（x）在（1，2）上零點的個數(shù)是1個；
（2）由（1）得f′（x）在（0，+∞）遞增，
而零點在（1，2）上，設(shè)零點是x0，
則1＜x0＜2，
則f（x）在（0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，
f（x）min=f（x0）=（x0-2）lnx0+1，
而-1＜x0-2＜0，0＜lnx0＜1，
∴-1＜（x0-2）lnx0＜0，
0＜（x0-2）lnx0+1＜1，
故f（x）＞0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．

練習冊系列答案
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14．數(shù)列1+$\frac{1}{2}$，2+$\frac{1}{4}$，3+$\frac{1}{8}$，4+$\frac{1}{16}$，…，的前n項和為（　�。�
A．$\frac{n（n+1）}{2}$+1-2nB．$\frac{n（n+1）}{2}$+1-2-nC．$\frac{n（n-1）}{2}$+1-2-nD．$\frac{n（n-1）}{2}$+1-2n

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15．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a22-3a7=2，且$\frac{1}{a_2}，\sqrt{{S_2}-3}，{S_3}$成等比數(shù)列，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=$\frac{4（n+1）}{{{a_n}^2{a_{n+2}}^2}}$，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若對于任意的n∈N*，都有64Tn＜|3λ-1|成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

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12．設(shè)集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x∈Z|x2-x-2≥0}，則A∩∁ZB=（　　）
A．{-2，-1，0，1，2}B．[-2，2]C．[0，1]D．{0，1}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

19．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則向量$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．將某班參加社會實踐的48名學生編號為：1，2，3，…，48．采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，已知5號，21號，29號，37號，45號學生在樣本中，則樣本中還有一名學生的編號是13．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右頂點為M，橢圓C過點（-1，$\frac{3}{2}$），直線l交橢圓C于A，B兩點（A，B異于M），且MA⊥MB．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若P為線段AB的中點，求直線MP的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

13．直線l：x-y+2=0和圓C：x2+y2+2x-4y+1=0的位置關(guān)系是（　�。�
A．相離B．相切C．相交過圓心D．相交不過圓心

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知橢圓C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，過左焦點F1的直線與橢圓C相交于A，B兩點，弦AB的中點坐標為（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C長軸的左、右兩端點分別為D，E，點P為橢圓上異于D，E的動點，直線l：x=-4與直線PD，PE分別交于M，N兩點，試問△F1MN的外接圓是否恒過x軸上不同于點F1的定點？若經(jīng)過，求出定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．

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