Question

19．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a+1）x+lnx，a∈R．
（1）若0＜a＜1，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a=0，且f（x₁）=f（x₂），x₁＞x₂，求證：x₁•x₂＜1．

Answer 1

分析 （1）求導數，利用導數的正負，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）設$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$=t＞1，則原命題等價于lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），t＞1．構造函數，確定單調性，即可證明結論．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，
x∈（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞），f′（x）＞0，函數單調遞增；
x∈（1，$\frac{1}{a}$），f′（x）＜0，函數單調遞減；
（2）證明：∵f（x₁）=f（x₂），
∴l(xiāng)nx₁-x₁=lnx₂-x₂，
∴$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
x₁•x₂＜1等價于$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜1．
設$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$=t＞1，則原命題等價于lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），t＞1．
令g（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），t＞1．
g′（t）=$\frac{-{t}^{2}+2t-1}{2{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（t）＜g（1）=0，即lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
∴x₁•x₂＜1．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，正確運用導數是關鍵．