Question

11．極坐標系中，曲線C₁：ρ=2（sinθ+cosθ）與曲線C₂：ρ=1交于點 A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），其中θ₁，θ₂∈[-π，π）．
（I）求ρ₁+ρ₂與θ₁+θ₂的值；
（II）求極點O與點A，B組成的三角形面積．

Answer 1

分析 法一：（I）由題易知ρ₁+ρ₂=1+1=2，θ₁，θ₂為方程2（sinθ+cosθ）=1的兩解．即$sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，結(jié)合圖象可知${θ_1}+{θ_2}=\frac{π}{2}$．
（II）由上述推理知，不妨設(shè)θ₁＜0＜θ₂，即可得出S_△OAB=$\frac{1}{2}{ρ}_{1}{ρ}_{2}sin（{θ}_{2}-{θ}_{1}）$，即可得出．
法二：化為直角坐標系方程即可解決．

解答 解：法一：
（I）由題易知ρ₁+ρ₂=1+1=2，
θ₁，θ₂為方程2（sinθ+cosθ）=1的兩解．即$sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∵θ₁，θ₂∈[-π，π），由$y=sin（{x+\frac{π}{4}}）$（x∈（-π，π））的圖象可知${θ_1}+{θ_2}=\frac{π}{2}$．
（II）由上述推理知，不妨設(shè)θ₁＜0＜θ₂，
∴${S_{{O}{A}{B}}}=\frac{1}{2}{ρ_1}{ρ_2}sin（{{θ_2}-{θ_1}}）=\frac{1}{2}sin[{（{{θ_2}+\frac{π}{4}}）-（{{θ_1}+\frac{π}{4}}）}]=\frac{1}{2}[{\frac{{\sqrt{2}}}{4}•\frac{{\sqrt{14}}}{4}-（{-\frac{{\sqrt{14}}}{4}}）•\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]=\frac{{\sqrt{7}}}{8}$．
法二：
（I）C₁，C₂的直角坐標系方程為：C₁：（x-1）²+（y-1）²=2，C₂：x²+y²=1，
作出圖象可知 O A，O B關(guān)于y=x對稱，
∵θ₁，θ₂∈[-π，π），故ρ₁+ρ₂=1+1=2，${θ_1}+{θ_2}=\frac{π}{2}$．
（II）易知直線 A B的方程為2x+2y-1=0，則 O到直線 A B的距離為$\frac{1}{{2\sqrt{2}}}$，
則$|{{A}{B}}|=2\sqrt{1-{{（{\frac{1}{{2\sqrt{2}}}}）}^2}}=2\sqrt{\frac{7}{8}}$，
故所求面積為$\frac{1}{2}•2\sqrt{\frac{7}{8}}•\frac{1}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{8}$

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、兩相交圓的公共弦長、點到直線的距離公式公式、三角形面積計算公式、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．