Question

17．若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x+1）=f（x-1），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-2，則f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）的值等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題可先研究f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）的取值范圍，利用函數(shù)的周期性與函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)自變量，再由x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-2，即可求出所求值．

解答 解：由題意函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），即f（x+2）=f（x），可得其周期是2
又log${\;}_{\frac{1}{2}}$24=-log₂24∈（-5，-4），
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24+4）=f（4-log₂24）=f（log₂$\frac{16}{24}$）=-f（log₂$\frac{3}{2}$）=-（${2}^{lo{g}_{2}\frac{3}{2}}-2$）=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是函數(shù)奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了奇函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的周期性，對(duì)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由函數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)自變量的范圍，這是本題的難點(diǎn)，本題考察了轉(zhuǎn)化的思想，本題是一個(gè)函數(shù)性質(zhì)綜合考查題，此類題是每年高考必考題，規(guī)律較固定，題后要好好總結(jié)．