Question

解答下列各題：（i為虛數(shù)單位）
（1）當(dāng)z=

i-1

2

時(shí)，求z²⁰+z¹⁰+1的值；
（2）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-3-4i|=1，求|z|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）由z求得z²=-i，進(jìn)一步得到z²⁰和z¹⁰的值，代入z²⁰+z¹⁰+1得答案；
（2）由|z-3-4i|=1的幾何意義知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面所表示的點(diǎn)在以C（3，4）為圓心，以1為半徑的圓上，由此可得|z|的取值范圍．

解答： 解：（1）∵z=

i-1

2

，
∴z2=(

i-1

2

)2=-i，
∴z²⁰=（-i）¹⁰=-1，
z¹⁰=（-i）⁵=-i，
∴z²⁰+z¹⁰+1=-i；
（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面所表示的點(diǎn)在以C（3，4）為圓心，以1為半徑的圓上．
|z|表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
∴|z|∈[4，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)絕對值的幾何意義，是基礎(chǔ)題．