如圖，點(diǎn)A，B分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，圓B：（x一2）2十y2=9經(jīng)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)F1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)A作直線l與y軸交于點(diǎn)Q，與橢圓E交于點(diǎn)P（異于A）．
（i）求
F1Q
•
BP
的取值范圍；
（ii）是否存在定圓r，使得以P為圓心，PF1為半徑的圓始終內(nèi)切于圓r，若存在，求出圓r的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a=2，b2=4-1=3，由此能求出橢圓E．
（Ⅱ）（i）當(dāng)直線為x軸時(shí)，
F1Q
•
BP
=0．設(shè)直線AP：x=ty-2，與E：
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立，得（3t2+4）y2-12ty=0，由此能求出
F1Q
•
BP
的取值范圍．
（ii）假設(shè)存在定圓r滿足題意，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，猜想定圓r的圓心在x軸上，由此能求出定圓r的方程．
解答： 解：（Ⅰ）依題意知a=2，圓B：（x-2）2+y2=9中，
令y=0，得F1（-1，0），
∴b2=4-1=3，
∴橢圓E：
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）（i）當(dāng)直線為x軸時(shí)，
F1Q
•
BP
=0．
設(shè)直線AP：x=ty-2，與E：
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立，得（3t2+4）y2-12ty=0，
∴yp=
12t
3t2+4
，xp=
6t2-8
3t2+4
，
AP：x=ty-2中，令x=0，得yp=
2
t
，
∴
F1Q
•
BP
=（1，
2
t
）•（
6t2-8
3t2+4
-2，
12t
3t2+4
）=
8
3t2+4
∈(0，2)，
綜上所述，
F1Q
•
BP
的取值范圍是[0，2）．
（ii）假設(shè)存在定圓r滿足題意，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，猜想定圓r的圓心在x軸上，
當(dāng)P恰好為B時(shí)，圓P就是定圓B：（x-2）2+y2=9，交x軸于D（5，0），
當(dāng)P無(wú)限接近于A時(shí)，圓P就是圓A：（x+2）2+y2=1，交x軸于C（-3，0）．
∴定圓r的圓心為CD中點(diǎn)F2（1，0），恰好為E：
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點(diǎn)，
∴猜想定圓r：（x-1）2+y2=16．
下證：圓P始終內(nèi)切于定圓r，
∵|PF2|+|PF1|=4，∴|PF2|=4-|PF1|得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、探索求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A（2，0），點(diǎn)P（2e，
1
2
）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足
OC
=λ
BA
，且
OC
•
OB
=0，求實(shí)數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知與拋物線x2=4y有相同的焦點(diǎn)的橢圓E：
y
2
 
a
2
 
+
x
2
 
b
2
 
=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)分別為A（0，2）、B（0，-2），過(guò)（0，1）的直線與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)C、D分別作拋物線的兩切線l1、l2．
（1）求橢圓E的方程并證明l1⊥l2；
（2）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a
2
1
+y2=1(a1＞1)與C2：y2+
x2
a
2
2
=1(0＜a2＜1)的離心率相等．直線l：y=m（0＜m＜1）與曲線C1交于A，D兩點(diǎn)（A在D的左側(cè)），與曲線C2交于B，C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N（0，-1）．
（Ⅰ）當(dāng)m=
3
2
，|AC|=
5
4
時(shí)，求橢圓C1，C2的方程；
（Ⅱ）若2
ND
•
AD
=|
ND
|•|
AD
|，且△AND和△BOC相似，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為3
2
，其中一條漸近線的方程為x-
2
y=0．以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為橢圓的左頂點(diǎn)，
PG
=2
GO
，求|
GA
|2+|
GB
|2的取值范圍；
（Ⅲ）若點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|，求證
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OP|2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)定圓M：(x+
3
)2+y2=16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(
3
，0)且與圓M相切，記動(dòng)圓N圓心N的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）已知A（-2，0），過(guò)定點(diǎn)B（1，0）的動(dòng)直線l交軌跡C于P、Q兩點(diǎn)，△APQ的外心為N．若直線l的斜率為k1，直線ON的斜率為k2，求證：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦距為2
7
，其一條漸近線的傾斜角為θ，且tanθ=
3
2
．以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸的橢圓記為E．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是橢圓E的左頂點(diǎn)，P、Q為橢圓E上異于點(diǎn)A的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AP、AQ的斜率之積為-
1
4
，問(wèn)直線PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：
x=t
y=t-2
(t為參數(shù))與曲線C：
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù)）交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若點(diǎn)（x，y）在曲線y=-|x|與y=-2所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則2x-y的最大值為（　　）
A、-6B、4C、6D、8

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