Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實(shí)數(shù)，，使，試問：該同學(xué)的判斷是否正確?若不正確，請說明理由；若正確，請直接寫出的取值范圍（不需要解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為， ；（2）時(shí)，；若時(shí)，．（3）正確，的取值范圍為．

【解析】

（1）先確定函數(shù)定義域，再利用導(dǎo)數(shù)，可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)定義域分類討論可求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）的取值范圍為，根據(jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得．

解（1）定義域，，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為；

（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由于，

若時(shí)，；

若時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以，

綜上得：若時(shí)，；

若時(shí)，；

（3）正確，的取值范圍為．

注：理由如下，考慮幾何意義，當(dāng)時(shí)，，

由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以的圖象大致如下圖所示，

所以總存在正實(shí)數(shù)，且，使得，即，即．