Question

19．設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$為單位向量，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為60°，則$（\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c）•\overrightarrow c$的最大值為1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，sinα），利用三角恒等變換和平面向量的數(shù)量積，即可求出最大值．

解答 解：由題意|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角θ=60°，
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosα，sinα），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+c²
=cosα+$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+1
=$\frac{3}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+1
=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{3}$）+1≤$\sqrt{3}$+1；
∴當(dāng)α=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，時(shí)取得最大值1+$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，也考查了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．