Question

4．已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與P點(diǎn)無關(guān)的定值．現(xiàn)將橢圓改為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），且k_PM＜0、k_PN＜0，則k_PM+k_PN的最大值為（　�。�

• A． $-\frac{2b}{a}$
• B． $-\frac{2a}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}b}}{a}$
• D． $-\frac{{\sqrt{2}b}}{a}$

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求得兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無關(guān)，再利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：雙曲線的類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．
下面給出證明：
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1．
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由k_PM=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PN=$\frac{y+n}{x+m}$得k_PM•k_PN=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，①
將y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x²-b²，n²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$m²-b²代入①式，得k_PM•k_PN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（定值）．
k_PM＜0、k_PN＜0，
∴k_PM+k_PN=-（-k_PM-k_PN）≤-$\frac{2b}{a}$，
∴k_PM+k_PN的最大值為-$\frac{2b}{a}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，正確計(jì)算是關(guān)鍵．