Question

4．已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與P點無關的定值．現(xiàn)將橢圓改為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），且k_PM＜0、k_PN＜0，則k_PM+k_PN的最大值為（　�。�

• A． $-\frac{2b}{a}$
• B． $-\frac{2a}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}b}}{a}$
• D． $-\frac{{\sqrt{2}b}}{a}$

Answer 1

分析 設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，又設點P的坐標為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求得兩直線斜率乘積的表達式，把y和x的表達式代入發(fā)現(xiàn)結果與p無關，再利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：雙曲線的類似的性質為：若M，N是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．
下面給出證明：
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1．
又設點P的坐標為（x，y），由k_PM=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PN=$\frac{y+n}{x+m}$得k_PM•k_PN=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，①
將y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x²-b²，n²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$m²-b²代入①式，得k_PM•k_PN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（定值）．
k_PM＜0、k_PN＜0，
∴k_PM+k_PN=-（-k_PM-k_PN）≤-$\frac{2b}{a}$，
∴k_PM+k_PN的最大值為-$\frac{2b}{a}$，
故選：A．

點評 本題主要考查了雙曲線的性質，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，正確計算是關鍵．