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2.已知定義在R上的函數f(x)是滿足f(x)-f(-x)=0,在(-∞,0]上總有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<0,則不等式f(2x-1)<f(3)的解集為(-1,2).

分析 由題意可得函數f(x)為偶函數,函數f(x)在(-∞,0]是減函數,故函數f(x)在(0,+∞)上是增函數.則由不等式f(2x-1)<f(3),可得-3<2x-1<3,由此求得x的范圍.

解答 解:∵f(x)-f(-x)=0,故函數f(x)為偶函數,
∵在(-∞,0]上總有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}$<0,即圖象上任意兩點的斜率小于零,
故函數f(x)在(-∞,0]是減函數,故函數f(x)在(0,+∞)上是增函數.
則由不等式f(2x-1)<f(3),可得-3<2x-1<3,求得-1<x<2,
故不等式的解集為(-1,2),
故答案為:(-1,2).

點評 本題主要考查函數的奇偶性和單調性的綜合應用,屬于基礎題.

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