Question

3．己知f（x）=|x²-4x|+ax-2恰有2個零點，求a的范圍．

Answer 1

分析 由題意知，函數(shù)g（x）=|x²-4x|-2與函數(shù)h（x）=-ax恰有2個不同的交點，作函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|x²-4x|+ax-2恰有2個零點，
∴方程f（x）=|x²-4x|+ax-2=0恰有2個不同的解，
∴函數(shù)g（x）=|x²-4x|-2與函數(shù)h（x）=-ax恰有2個不同的交點，
作函數(shù)g（x）=|x²-4x|-2與函數(shù)h（x）=-ax的圖象如下，

結(jié)合圖象知，直線m是切線，
當0＜x＜4時，g（x）=4x-x²-2，
則4-2x=$\frac{4x-{x}^{2}-2}{x}$，
解得，x=$\sqrt{2}$；
故直線m的斜率k=4-2$\sqrt{2}$；
直線n的斜率k=$\frac{-2}{4}$=-$\frac{1}{2}$；
故-a＜-$\frac{1}{2}$或-a＞4-2$\sqrt{2}$；
故a＞$\frac{1}{2}$或a＜2$\sqrt{2}$-4．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的零點的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．