Question

（2013•崇明縣二模）已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域得出f（x）的最小值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）確定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C-

π

6

）=1，由C的范圍，求出2x-

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值及正弦函數(shù)的圖象求出C的度數(shù)，由sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，將c與cosC的值代入得到關于a與b的方程，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵-1≤sin（2x-

π

6

）-≤1，
∴f（x）的最小值為-2，
又ω=2，
則最小正周期是T=

2π

2

=π；
（2）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，得到sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a①，又c=

3

，
∴由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3②，
聯(lián)立①②解得：a=1，b=2．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．