5．已知點A（a，b）與點B（0，3）在直線3x-4y+5=0的同側(cè)，給出下列四個命題：
①若a＞1，則b＞2；
②$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞1；
③函數(shù)f（x）=sinx-3a+4b-4有無數(shù)個零點；
④當b＜0時，$\frac{b-1}{a}$的取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$）．
其中所有正確命題的序號是①②④．

分析 點A（a，b）和點B（0，3）在直線1：3x-4y+5=0的同側(cè)，則（3a-4b+5）×（3×0-4×3+5）＞0，即3a-4b+5＜0，作出點A（a，b） 對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行判斷即可

解答 解：點A（a，b）和點B（0，3）在直線1：3x-4y+5=0的同側(cè)，
則（3a-4b+5）×（3×0-4×3+5）＞0，即3a-4b+5＜0，點A（a，b）的區(qū)域如圖所示．
對于①，若a＞1，由3a-4b+5＜0；可得b＞2，故正確；
對于②，∵原點到直線3a-4b+5=0的距離等于1，∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞1，故正確；
對于③，函數(shù)f（x）=sinx-3a+4b-4零點，就是y=sinx與y=3a-4b+4的交點，∵y=3a-4b+4＞-1，故錯；
對于④，當b＜0時，$\frac{b-1}{a}$表示過點A（a，b）與點（0，1）的斜率，根據(jù)圖象可得其取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$），故正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查的知識點是二元一次不等式與平面區(qū)域，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．某地十余萬考生的成績中，隨機地抽取了一批考生的成績，將其分為6組：第一組[40，50），第二組[50，60），…，第六組[90，100]，作出頻率分布直方圖，如圖所示
（I）用每組區(qū)間的中點值代表該組的數(shù)據(jù)，估算這批考生的平均成績；
（II）現(xiàn)從及格的學生中，用分層抽樣的方法抽取了70名學生（其中女生有34名），已知成績“優(yōu)異”（超過90分）的女生有1名，能否有95%的把握認為數(shù)學成績優(yōu)異與性別有關(guān)？
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（K2≥k0）0.010.050.0250.010
k02.7063.8415.0246.635

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．已知命題p：?x∈R，x2-2xsinθ+1≥0；命題q：?α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，則下列命題中的真命題為（　�。�
A．（￢p）∧qB．p∧（￢q）C．（￢p）∨qD．￢（p∨q）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，\;0＜x≤1\;\\{log_a}x\;，x＞1\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），若f（3a2）＞f（1-2a），則a的取值范圍是（　�。�
A．$0＜a＜\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$C．$0＜a＜\frac{1}{3}$D．a＞1或$0＜a＜\frac{1}{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若$\frac{1}{2}≤\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}≤2$（n∈N*），則稱{an}是“緊密數(shù)列”；
（1）若a1=1，${a_2}=\frac{3}{2}$，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；
（2）若{an}為等差數(shù)列，首項a1，公差d，且0＜d≤a1，判斷{an}是否為“緊密數(shù)列”；
（3）設數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=x2ln（ax）（a＞0）．
（1）當a=1時，設函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f′（x）≤x2對任意的x＞0恒成立，求a的取值范圍；
（3）若x1、x2∈（$\frac{1}{e}$，+∞），求證：x1x2＜（x1+x2）4．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．二項式${（\frac{2}{x}+x）^4}$的展開式中常數(shù)項為24．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若D是經(jīng)過A、B、F2三點的圓上的點，且D到直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設P、Q是橢圓C上異于A的兩點，且以PQ為直徑的圓過點A，問直線PQ是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．若正整數(shù)n除以正整數(shù)m后的余數(shù)為N，則記為n≡N（bmodm），例如10≡4（bmod6），下面程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于（　�。�
A．11B．13C．14D．17

查看答案和解析>>

同步練習冊答案