Question

14．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若D是經(jīng)過A、B、F₂三點的圓上的點，且D到直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設P、Q是橢圓C上異于A的兩點，且以PQ為直徑的圓過點A，問直線PQ是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由即F₁為BF₂的中點，利用直角三角形的性質(zhì)，求得AF₁=F₁F₂，即a=2c，利用離心率公式即可求得橢圓C的離心率；
（Ⅱ）分別求得A、B、F₂三點坐標，求得外接圓半徑，利用點到直線的距離公式，$\frac{丨-\frac{1}{2}a-3丨}{2}$=a，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅲ）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，求得m=-$\frac{\sqrt{3}}{7}$即可求得定點坐標．

解答 解：（Ⅰ）連接AF₁，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，AB⊥AF₂，$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，即F₁為BF₂的中點，
則AF₁=F₁F₂，
即a=2c，故橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$；…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，得c=$\frac{1}{2}$a，于是F₂（$\frac{1}{2}$a，0），B（-$\frac{3}{2}$a，0），
Rt△ABC的外接圓圓心為F₁（-$\frac{1}{2}$a，0），半徑r=$\frac{1}{2}$丨F₂B丨=a，…（5分）
D到直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0的最大距離等于2a，
∴圓心到直線的距離為a，
∴$\frac{丨-\frac{1}{2}a-3丨}{2}$=a，
解得：a=2，c=1，
b²=a²-b²=3，…（7分）
求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（8分）
（ III）由題意知，直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，代入消y得：（3+4k²）x+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，得64k²m²-16（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡得4k²-m²+3＞0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，（10分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，y₁y₂=（k₁x+m）（k₂x+m）=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，容易知$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁，y₁-$\sqrt{3}$）（x₂，y₂-$\sqrt{3}$）=x₁x₂+y₁y₂-$\sqrt{3}$（y₁+y₂）+3=0，
代入化簡得：7m²-6$\sqrt{3}$m-3=0，解得：m=-$\frac{\sqrt{3}}{7}$或m=$\sqrt{3}$（舍），…（13分）
故直線PQ是過定點（0，-$\frac{\sqrt{3}}{7}$）．…（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．