Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx，求：
（1）此函數(shù)的定義域；
（2）此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）此函數(shù)在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義即可求出函數(shù)的定義域，
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．
（3）先判斷函數(shù)在[

1

e

，e]的單調(diào)性，繼而求出最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-lnx，
∴函數(shù)的定義域為（0，+∞）
（2）由f′（x）=0得x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；      
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；    
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在[

1

e

，1]上遞減，在（1，e]上遞增，
∴當(dāng)x=1是函數(shù)f（x）的最小值點，f（1）=1-0=1
故f（x）的最小值是1．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以，會熟練運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間