Question

已知是橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y＝上到焦點(diǎn)F1，F2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)的動直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓E的方程，可用待定系數(shù)法求方程，因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，故可得橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，即，由題意直線y＝上到焦點(diǎn)F1，F2距離之和最小，可用對稱法求最小值，即求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為最小值為，此時(shí)的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，故，可得，從而得，這樣就得橢圓E的方程；（Ⅱ）這是探索性命題，可假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：，當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：，解得兩圓公共點(diǎn)．因此所求的點(diǎn)如果存在，只能是．由此能夠?qū)С?/span>以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M．

試題解析：（Ⅰ）由拋物線的焦點(diǎn)可得：，

點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為

故，

因此，橢圓方程為。（4分）

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)。

當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為： …………… ①

當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為： …………②

由①②知定點(diǎn)M。（6分）

下證：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M。

設(shè)直線，代入，有。

設(shè)，則。

則，

在軸上存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn)。（14分）

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的共同特征．