Question

如圖，在長(zhǎng)方體OAEB-O₁A₁E₁B₁中，OA=3，OB=4，OO₁=2，點(diǎn)P在棱AA₁上，且AP=2PA₁，點(diǎn)S在棱BB₁上，且SB₁=2BS，點(diǎn)Q、R分別是O₁B₁、AE的中點(diǎn)，求證：PQ∥RS．

Answer 1

分析：根據(jù)條件中的長(zhǎng)方體建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得向量

PQ

，

RS

的坐標(biāo)，利用向量平行的條件得出

PQ

∥

RS

，從而得出PQ∥RS．

解答：證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（3，0，0），B（0，4，0），O₁（0，0，2），
A₁（3，0，2），B₁（0，4，2），E（3，4，0），
∵AP=2PA₁，∴

AP

=2

PA1

=

2

3

AA1

，
即

AP

=

2

3

（0，0，2）=（0，0，

4

3

），∴P（3，0，

4

3

）
同理可得，Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，

2

3

），
∴

PQ

=（-3，2，

2

3

）=

RS

，
∴

PQ

∥

RS

，
∵R∉PQ，
∴PQ∥RS

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量語(yǔ)言表述線線的垂直、平行關(guān)系．根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題，這種問(wèn)題是為解決空間向量與立體幾何做準(zhǔn)備，是一個(gè)基礎(chǔ)題，注意數(shù)字運(yùn)算不要出錯(cuò)．