Question

16．在平面四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=120°，AB=$\sqrt{2}$，AD=2．設(shè)CD=t，則t的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 在△ABD中，由余弦定理得DB=$\sqrt{2}$，即$∠ABD=\frac{π}{2}$.$∠DBC=\frac{π}{6}$，點(diǎn)C在射線BT上運(yùn)動(dòng)（如圖），要使ABCD為平面四邊形ABCD，當(dāng)DC⊥BT時(shí)，CD最短，為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)A，D，C共線時(shí)，如圖，在△ABC₂中，由正弦定理可得$A{C}_{2}=3+\sqrt{3}$，$D{C}_{2}=1+\sqrt{3}$．即可得到答案．

解答 解：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，
由余弦定理得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcosA=2．
∴DB=$\sqrt{2}$，即△ABD為等腰直角三角形，$∠ABD=\frac{π}{2}$．
∴$∠DBC=\frac{π}{6}$，
所以點(diǎn)C在射線BT上運(yùn)動(dòng)（如圖），要使ABCD為平面四邊形ABCD，
當(dāng)DC⊥BT時(shí)，CD最短，為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)A，D，C共線時(shí)，如圖，在△ABC₂中，由正弦定理可得$\frac{A{C}_{2}}{sin12{0}^{0}}=\frac{AB}{sin1{5}^{0}}$
解得$A{C}_{2}=3+\sqrt{3}$，$D{C}_{2}=1+\sqrt{3}$．
∴設(shè)CD=t，則t的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\sqrt{3}$），
故答案為：$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}+1}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的極端化處理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．