Question

11．已知函數(shù)f（x）=|lnx|，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}0，0＜x≤1\\|{x^2}-4|-2，x＞1\end{array}\right.$若方程|f（x）+g（x）|=a有4個實根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1]
• B． （0，2-ln2）
• C． [1，2-ln2]
• D． [1，2-ln2）

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）+g（x），求出h（x）的解析式，判斷h（x）的單調(diào)性，作出|h（x）|的圖象，根據(jù)圖象得出a的范圍．

解答 解：f（x）=|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{2-{x}^{2}，1＜x≤2}\\{{x}^{2}-6，x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤1}\\{lnx-{x}^{2}+2，1＜x≤2}\\{lnx+{x}^{2}-6，x＞2}\end{array}\right.$，
令h（x）=f（x）+g（x），
當0＜x≤1時，h（x）是減函數(shù)，
當1＜x≤2時，h′（x）=$\frac{1}{x}-2x$=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$＜0，∴h（x）在（1，2]上是減函數(shù)，
當x＞2時，h′（x）=$\frac{1}{x}+2x$＞0，∴h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
作出h（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，得到y(tǒng)=|h（x）|的函數(shù)圖象，如圖：

由圖象可知，當1≤a＜2-ln2時，|h（x）|=a有4個解．
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．