Question

已知函數f（x）=log_a（a-a^x），且a＞1．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）在其定義域上的單調性．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由函數f（x）=log_a（a-a^x），且a＞1．根據真數大于零構造不等式，解不等式來求定義域；
（2）根據對數函數的單調性，指數函數的單調，復合函數的單調性判斷函數的單調性，進而利用定義法可以證明；

解答： 解：（1）由a-a^x＞0得：a^x＜a，
又∵a＞1，
∴x＜1，
故其定義域為（-∞，1）；
（2）設1＞x₂＞x₁，
∵a＞1，
∴a^x₂＞a^x₁，于是a-a^x₂＜a-a^x₁，
則log_a（a-a^x₂）＜log_a（a-a^x₁），
即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在定義域（-∞，1）上是減函數．

點評：本題主要考查指數函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，是指數、對數函數的圖象和性質的綜合應用，難度中檔．