Question

正三棱錐底面邊長為a，側棱與底面成角為60°，過底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角，則此截面的面積為

3

8

．

Answer 1

分析：由于此題為正三棱錐且已知底面邊長為a，作出頂點S在底面內的投影點O，由于為正三棱錐，所以S在底面內的投影點為三角形ABC的中心，連接SO，取邊AB的中點，利用二面角的定義可以求出∠DEC即為二面角的平面角，∠DEC=60°即為側棱與底面成角且值為60°，利用三角形的面積公式即可求出．

解答：解：∵三棱錐S-ABC底面△ABC邊長為a，
側棱與底面成角為60°，
過底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角，
∴如圖，E為AB中點，
CE=

3

2

BC=

3

2

a，
∠DEC=30°，∠DCE=60°，
∴∠EDC=90°，
∴DE=CE•sin60°=

3

2

a•

3

2

=

3

4

a，
∴S_△ADB=

1

2

•a•

3

4

a=

3

8

a²．
故答案為

3

8

a²．

點評：此題中點考查了學生的空間想象能力，還考查了三棱錐的定義及在三角形中利用邊角關系求解三角形，還考查了線面角與二面角的定義及學生的計算三角形的計算能力．本題綜合性強，難度大，易出錯，解題時要認真審題，仔細解答．