Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1內(nèi)一點(diǎn)P（1，1）的一條直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)A，C，且

AP

=λ

PC

，其中λ為常數(shù)．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）當(dāng)點(diǎn)C恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，試確定對(duì)應(yīng)λ的值；
（3）當(dāng)λ=1時(shí)，求直線(xiàn)AC的斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）因?yàn)閍²=4，b²=3，由此能求出離心率．
（2）因?yàn)镃（2，0），所以直線(xiàn)PC的方程為y=-x+2，由

y=-x+2 x2 4 + y2 3 =1

，能求出λ=

5

7

．
（3）

AP

=

PC

，設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出kAC=-

3

4

．

解答： （本小題滿(mǎn)分16分）
解：（1）因?yàn)閍²=4，b²=3，
所以c²=1，即a=2，c=1，
所以離心率e=

c

a

=

1

2

．（4分）
（2）因?yàn)镃（2，0），所以直線(xiàn)PC的方程為y=-x+2，…（6分）
由

y=-x+2 x2 4 + y2 3 =1

，解得A(

2

7

，

12

7

)，…（8分）
代入

AP

=λ

PC

中，得λ=

5

7

．…（10分）
（3）因?yàn)棣?1，所以

AP

=

PC

，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，…（12分）
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
兩式相減，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
即

x1-x2

4

+

y1-y2

3

=0，
從而

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，即kAC=-

3

4

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查實(shí)數(shù)的求法，考查直線(xiàn)的斜率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．