Question

在△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，且

AD

=λ

AC

（0＜λ＜

1

2

），過點D作直線DE∥AB交BC于E，將△DEC沿DE折起，使C點在平面ADEB內(nèi)的射影與點A重合（如圖），設M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）當λ=

1

3

時，求直線BC與平面EAM所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由∠CAB=90°，知翻折后AD⊥AB，由C點在平面ADEB內(nèi)的射影與點A重合，知CA⊥底面ABDE，由此能證明BC⊥AD．
（Ⅱ）以A為原點，以AD為x軸，以AB為y軸，以AC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BC與平面EAM所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠CAB=90°，∴CA⊥AB，
∴翻折后AD⊥AB，
∵△DEC沿DE折起，C點在平面ADEB內(nèi)的射影與點A重合，
∴CA⊥底面ABDE，
∵AD?底面ABCD，∴CA⊥AD，
∵AB∩CA=A，∴AD⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴BC⊥AD．
（Ⅱ）解：以A為原點，以AD為x軸，以AB為y軸，
以AC為z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=AC=3，由題意知：
A（0，0，0），E（1，2，0），B（0，3，0），
C（0，0，

3

），M（0，

3

2

，

3

2

），
∴

AM

=（0，

3

2

，

3

2

），

AE

=（1，2，0），

BC

=（0，-3，

3

），
設平面AME的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AM = 3 2 y+ 3 2 z=0 n • AE =x+2y=0

，
取z=

3

，得

n

=（2，-1，

3

），
設直線BC與平面EAM所成角為θ，
sinθ=|cos＜

BC

，

n

＞|=|

3+3

12 • 8

|=

6

4

．

點評：本題考查異面直線的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．