Question

已知直線l：

x= 2 +1+tcosθ y=-1+tsinθ

(t為參數(shù)，θ∈R)，曲線C：

x= 1 t y= 1 t t2-1

(t為參數(shù))．
（1）若l與C有公共點，求直線l的斜率的取值范圍；
（2）若l與C有兩個公共點，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：直線l是表示過定點（

2

+1，-1），傾斜角為θ的直線；
曲線C是圓x²+y²=1（x、y為同號）上的兩段弧

AD

，

BC

；
根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，求出直線MA、MB、MC、MD與圓的切線斜率，比較即可得出所求直線斜率的范圍．

解答： 解：（1）直線l：

x= 2 +1+tcosθ y=-1+tsinθ

(t為參數(shù)，θ∈R)，
表示過定點（

2

+1，-1），傾斜角為θ的直線；
曲線C：

x= 1 t y= 1 t t2-1

(t為參數(shù))化為普通方程是
y=x

( 1 x )2-1

，即x²+y²=1（x、y為同號），是

AD

，

BC

；
如圖所示；
∴斜率k_MC=0，k_MB=

-1

2 +2

=

2 -2

2

=-1+

2

2

；
k_MA=

-2

2 +1

=-2

2

+2，k_MD=

-1

2

=-

2

2

；
設(shè)過點M的圓切線方程為y+1=k₀（x-

2

-1），
即k₀x-y-

2

k₀-k₀-1=0，
原點O到直線l的距離d=r，
即

|- 2 k0-k0-1|

k02+1

=1，
解得k₀=0，或k₀=-

1

2

；
直線與曲線C相交時，直線l的斜率的取值范圍是{k|-2

2

+2≤k≤-

1

2

，或-1+

2

2

≤k≤0}；
（2）由（1）中圖形知，l與C有兩個公共點時，直線l的斜率的取值范圍是{k|-

2

2

≤k＜-

1

2

}．

點評：本題考查了直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)把參數(shù)方程化為普通方程，并畫出圖形，結(jié)合圖形解答問題，是中檔題．