Question

17．已知點A（2，3），B（6，1），O為坐標(biāo)原點，P為x軸上一動點．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，求點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）$當(dāng)\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}取最小值時，求向量\overrightarrow{AP}與\overrightarrow{BP}的夾角的余弦值$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)出點P（x，0），利用坐標(biāo)表示出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$，根據(jù)$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$=0列方程求出x的值；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$是關(guān)于x的二次函數(shù)，求出最小值對應(yīng)的$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$的值，再求$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{BP}$夾角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)點P（x，0），
又點A（2，3），B（6，1），
∴$\overrightarrow{AP}$=（x-2，-3），$\overrightarrow{BP}$=（x-6，-1），
又$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$=（x-2）（x-6）+（-3）×（-1）=x²-8x+15=0，
解得x=3或x=5，
∴點P的坐標(biāo)為（3，0）或（5，0）；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$=（x-2）（x-6）+（-3）×（-1）=x²-8x+15=（x-4）²-1，
當(dāng)x=4時，$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}$取得最小值-1，
此時$\overrightarrow{AP}$=（2，-3），$\overrightarrow{BP}$=（-2，-1），
|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{BP}$|=$\sqrt{5}$，
∴$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{BP}$夾角的余弦值為：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{AP}|×|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{65}}{65}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與二次函數(shù)的應(yīng)用問題，是中檔題．