【題目】設(shè),函數(shù).

（1）證明在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行,且在點(diǎn)處的切線與直線平行,(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:

【答案】（1） 在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn) （2）證明見解析

【解析】試題分析：

（1）證明函數(shù)單調(diào)，再應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理證明只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）利用處的切線與軸平行，解得，再利用處的切線與直線平行，解得，觀察證明結(jié)論，可知，所以令，通過(guò)求導(dǎo)最后解得，則，得證。

試題解析：

（1）， ，

在上為增函數(shù)．

， ，

又，

，即，

由零點(diǎn)存在性定理可知， 在上為增函數(shù)，且，

在上僅有一個(gè)零點(diǎn)。

（2），設(shè)點(diǎn)，則，

在點(diǎn)處的切線與軸平行， ， ，

， ，

點(diǎn)處切線與直線平行，

點(diǎn)處切線的斜率，

又題目需證明，即，

則只需證明，即。

令，則，

易知，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，

，即，

，

，得證。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】?jī)蓤Ax2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則 的最小值為（ ）
A.
B.
C.1
D.3

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【題目】如圖，已知， 分別是中點(diǎn)，弧的半徑分別為，點(diǎn)平分弧，過(guò)點(diǎn)作弧的切線分別交于點(diǎn).四邊形為矩形，其中點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在弧上，延長(zhǎng)與交于點(diǎn).設(shè)，矩形的面積為.

（1）求的解析式并求其定義域；

（2）求的最大值.

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【題目】已知以T=4為周期的函數(shù)f（x）= ，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為 ．

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【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足， 為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列，使得？若存在，寫出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)時(shí)，求證： ．

（3）當(dāng)時(shí)，求證：當(dāng)時(shí)， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)定義在[﹣2，2]上的函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，且f（1﹣m）＜f（3m）．

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）滿足：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）；
②對(duì)任意m∈R，都有f（1+m）=f（1﹣m）恒成立；
③f（x）不恒為0，且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出你的證明；
（3）定義：“若存在非零常數(shù)T，使得對(duì)函數(shù)g（x）定義域中的任意一個(gè)x，均有g(shù)（x+T）=g（x），則稱g（x）為以T為周期的周期函數(shù)”．試證明：函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，并求出 的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，連接EF，A′B．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．

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