Question

試用實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納法解答：平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不共線，求得到多少條線段？

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納可知平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，從n個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)都可以作為線段的兩端．或者說(shuō)，先從n個(gè)點(diǎn)中取一個(gè)，有n種方法，再?gòu)氖Ｓ嗟模╪-1）個(gè)點(diǎn)中任取一個(gè)，這一步有（n-1）種方法．合起來(lái)就有n（n-1）種取法．又因?yàn)榫�段是無(wú)向的，所以線段如果是AB的話，在上面的計(jì)算中，它被算了兩次（一次是先取A再取B，另一次是先B后A），因此要把結(jié)果除以2，結(jié)果是

n×(n-1)

2

種．

解答： 解：平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不共線，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線．
平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫

3×2

2

=3條直線，
平面上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫

4×3

2

=6條直線，
平面內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫

5×4

2

條直線，
…
平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，從n個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)都可以作為線段的兩端．或者說(shuō)，先從n個(gè)點(diǎn)中取一個(gè)，有n種方法，再?gòu)氖Ｓ嗟模╪-1）個(gè)點(diǎn)中任取一個(gè)，這一步有（n-1）種方法．合起來(lái)就有n（n-1）種取法．又因?yàn)榫�段是無(wú)向的，所以線段如果是AB的話，在上面的計(jì)算中，它被算了兩次（一次是先取A再取B，另一次是先B后A），因此要把結(jié)果除以2，結(jié)果是

n×(n-1)

2

種，即有一共可以畫

n×(n-1)

2

條直線．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了觀察、歸納法的應(yīng)用，要注意去掉被重復(fù)計(jì)算的次數(shù)．類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．本題屬于基礎(chǔ)題．