Question

定義一：對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D時(shí)，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂ 恒成立，則稱函數(shù)f（x）在D內(nèi)有一個(gè)寬度為d的通道．
定義二：若一個(gè)函數(shù)f（x），對(duì)于任意給定的正數(shù)?，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得函數(shù)f（x）在[x，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為?的通道，則稱f（x）在正無(wú)窮處有永恒通道．下列函數(shù)：
①f（x）=lnx，②f（x）=，③f（x）=，④f（x）=x²，⑤f（x）=e^-x，
其中在正無(wú)窮處有永恒通道的函數(shù)的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)定義一與定義二，對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行逐一進(jìn)行判定，解題的關(guān)鍵看函數(shù)的單調(diào)性和是否有漸近線等．
解答：解：①f（x）=lnx，隨著x的增大，函數(shù)值也在增大，無(wú)漸近線，故不存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得函數(shù)f（x）在[x，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為?的通道，故f（x）在正無(wú)窮處無(wú)永恒通道；
②f（x）=，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，對(duì)于任意給定的正數(shù)?，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得函數(shù)f（x）在[x，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為?的通道，故f（x）在正無(wú)窮處有永恒通道；
③f（x）=，隨著x的增大，函數(shù)值也在增大，有兩條漸近線y=±x，對(duì)于任意給定的正數(shù)?，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得函數(shù)f（x）在[x，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為?的通道，故f（x）在正無(wú)窮處有永恒通道；
④f（x）=x²，隨著x的增大，函數(shù)值也在增大，無(wú)漸近線，故不存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得函數(shù)f（x）在[x，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為?的通道，故f（x）在正無(wú)窮處無(wú)永恒通道；
⑤f（x）=e^-x，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，趨近于x軸，對(duì)于任意給定的正數(shù)?，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得函數(shù)f（x）在[x，+∞）內(nèi)有一個(gè)寬度為?的通道，故f（x）在正無(wú)窮處有永恒通道．
故答案為：②③⑤
點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是對(duì)新定義的理解，解題的關(guān)鍵是通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．