Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）證明：$f（m）+f（-\frac{1}{m}）≥4$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3，再利用對(duì)值的意義求得它的解集．
（Ⅱ）由條件利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式，證得要證的結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3．
而|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、-$\frac{1}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而0和-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-$\frac{11}{4}$、$\frac{1}{4}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于3，
故不等式f（x）＞3的解集為{x|x＜-$\frac{11}{4}$，或 x＞$\frac{1}{4}$}．
（Ⅱ）證明：∵f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a||-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
=（|m+a|+|-$\frac{1}{m}$+a|）+（|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|）≥2（|m+$\frac{1}{m}$|）=2（|m|+|$\frac{1}{m}$|）≥4，
∴要證得結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．