【題目】在如圖所示的四棱錐中,四邊形是等腰梯形,,,平面,,.
(1)求證:平面;
(2)已知二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)由已知可得,結合,由直線與平面垂直的判定可得平面;
(2)由(1)知,,則,,兩兩互相垂直,以為坐標原點,分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標系,設,0,,由二面角的余弦值為求解,再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值.
(1)證明:因為四邊形是等腰梯形,,,所以.又,所以,
因此,,
又,
且,,平面,
所以平面.
(2)取的中點,連接,,
由于,因此,
又平面,平面,所以.
由于,,平面,
所以平面,故,
所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,
因此,又,
因為,所以,所以
以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系,則,,
,,
設平面的法向量為
所以,即,令,則,,
則平面的法向量,,
設直線與平面所成角為,則
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【題目】已知函數(shù),,,,給出以下四個命題:①為偶函數(shù);②為偶函數(shù);③的最小值為0;④有兩個零點.其中真命題的是( ).
A.②④B.①③C.①③④D.①④
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【題目】在黨中央的正確領導下,通過全國人民的齊心協(xié)力,特別是全體一線醫(yī)護人員的奮力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙兩個地區(qū)采取防護措施后,統(tǒng)計了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù),繪制成如下折線圖:
(1)根據(jù)圖中甲、乙兩個地區(qū)折線圖的信息,寫出你認為最重要的兩個統(tǒng)計結論;
(2)治療“新冠肺炎”藥品的研發(fā)成了當務之急,某藥企計劃對甲地區(qū)的項目或乙地區(qū)的項目投入研發(fā)資金,經(jīng)過評估,對于項目,每投資十萬元,一年后利潤是l.38萬元、1.18萬元、l.14萬元的概率分別為、、;對于項目,利潤與產品價格的調整有關,已知項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整,每次價格調整中,產品價格下調的概率都是,記項目一年內產品價格的下調次數(shù)為,每投資十萬元,取0、1、2時,一年后相應利潤是1.4萬元、1.25萬元、0.6萬元.記對項目投資十萬元,一年后利潤的隨機變量為,記對項目投資十萬元,一年后利潤的隨機變量為.
(i)求,的概率分布列和數(shù)學期望,;
(ii)如果你是投資決策者,將做出怎樣的決策?請寫出決策理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)設兩點,,且,若函數(shù)的圖象分別在點、處的兩條切線互相垂直,求的最小值;
(2)若對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族,已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等,在較嚴重病例中,感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭,甚至死亡.醫(yī)院為篩查冠狀病毒,需要檢驗血液是否為陽性,現(xiàn)有份血液樣本,有以下兩種檢驗方式:
方式一:逐份檢驗,則需要檢驗次.
方式二:混合檢驗,將其中(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.
若檢驗結果為陰性,這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了,如果檢驗結果為陽性,為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這份再逐份檢驗,此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的,且每份樣本是陽性結果的概率為.
(1)現(xiàn)有份血液樣本,其中只有份樣本為陽性,若采用逐份檢驗方式,求恰好經(jīng)次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.
(2)現(xiàn)取其中(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次為.
(i)若,試求關于的函數(shù)關系式;
(ii)若,且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少,求的最大值.
參考數(shù)據(jù):,,.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,是橢圓上一動點(與左、右頂點不重合)已知的內切圓半徑的最大值為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過的直線交橢圓于兩點,過作軸的垂線交橢圓與另一點(不與重合).設的外心為,求證為定值.
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【題目】近年來,某市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設置了相應的垃圾箱.為調查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:噸):
“廚余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | |
廚余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
(Ⅰ)試估計廚余垃圾投放正確的概率
(Ⅱ)試估計生活垃圾投放錯誤的概率
(Ⅲ)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時,寫出a,b,c的值(結論不要求證明),并求此時的值.
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
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