【題目】已知函數(shù),,,,給出以下四個(gè)命題:①為偶函數(shù);②為偶函數(shù);③的最小值為0;④有兩個(gè)零點(diǎn).其中真命題的是( ).
A.②④B.①③C.①③④D.①④
【答案】C
【解析】
分別表示出和,判斷其奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值以及零點(diǎn),從而做出判斷,得到答案.
函數(shù),
∵,
定義域?yàn)?/span>,關(guān)于原點(diǎn)對稱
,
∴為偶函數(shù),①正確;
∵的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,
∴為非奇非偶函數(shù),②錯(cuò)誤;
∵,
∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴.
考查函數(shù),令,,則或,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,∴單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,單調(diào)遞增,∴單調(diào)遞增,
∴時(shí),∴,又為偶函數(shù),
∴時(shí),∴,③正確.
考查函數(shù),令得,
∵,∴,又,,
∴直線與函數(shù)恰有兩個(gè)交點(diǎn),故有兩個(gè)零點(diǎn),④正確.
故選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下:
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計(jì) |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)是,
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交(不含端點(diǎn))且交橢圓于C,D兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為拋物線上的一點(diǎn),,為拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn),且直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù).
(1)求直線的斜率;
(2)設(shè)直線過點(diǎn)并交拋物線于,兩點(diǎn),且,直線與軸交于點(diǎn),試探究與的夾角是否為定值,若是則求出定值,若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)的動直線l與y軸交于點(diǎn),過點(diǎn)T且垂直于l的直線與直線相交于點(diǎn)M.
(1)求M的軌跡方程;
(2)設(shè)M位于第一象限,以AM為直徑的圓與y軸相交于點(diǎn)N,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有邊長均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個(gè),在水平桌面上無滑動滾動一周,它們的中心的運(yùn)動軌跡長分別為,,,,則( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=3,AD=4,AE=5,.
(1)證明:DF∥平面BCE.
(2)求A到平面BEDF的距離,并求四棱錐A﹣BEDF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的四棱錐中,四邊形是等腰梯形,,,平面,,.
(1)求證:平面;
(2)已知二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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