Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}+{a_n}=（n+1）•cos\frac{nπ}{2}（n≥2，n∈{N^*}）$，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₂₀₁₇+m=1010，且a₁•m＞0，則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{m}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $2+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由S₂₀₁₇-a₁=（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₆+a₂₀₁₇），結(jié)合余弦函數(shù)值求和，再由S₂₀₁₇+m=1010，可得a₁+m=2，由a₁•m＞0，可得a₁＞0，m＞0，運(yùn)用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}+{a_n}=（n+1）•cos\frac{nπ}{2}（n≥2，n∈{N^*}）$，
可得a₂+a₃=3cosπ=-3，a₄+a₅=5cos2π=5，a₆+a₇=7cos3π=-7，
…，a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=2017cos1008π=2017，
則S₂₀₁₇-a₁=（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₆+a₂₀₁₇）=-3+5-7+9-…+2017=1008，
又S₂₀₁₇+m=1010，
所以a₁+m=2，
由a₁•m＞0，可得a₁＞0，m＞0，
則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{m}$=$\frac{1}{2}$（a₁+m）（$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{m}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{1}}{m}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{m}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{1}}{m}}$）=2．
當(dāng)且僅當(dāng)a₁=m=1時(shí)，取得最小值2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的結(jié)合，注意運(yùn)用整體思想和轉(zhuǎn)化思想，考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．