Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{ax}{2}$，（a＞0）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的a∈[1，2），都存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+e^a-$\frac{a}{2}$＞m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，得出極值點(diǎn)x=$\frac{2}{a}$，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+e^a-$\frac{a}{2}$＞m成立，由題意得知區(qū)間內(nèi)f（x）的最大值為f（1）=-$\frac{a}{2}$，故轉(zhuǎn)換為e^a-a＞m成立，構(gòu)造函數(shù)求出左式的最小值即可．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{2-ax}{2x}$，（x＞0），
令f'（x）=0，得x=$\frac{2}{a}$．
當(dāng)x∈（0，$\frac{2}{a}$]，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)x∈（$\frac{2}{a}$，+∞），f'（x）＜0函數(shù)f（x）遞減；
（2）$\frac{2}{a}$∈（1，2]，
由（1）知在（0，1]上遞增，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，最大值為f（1）=-$\frac{a}{2}$，
若對(duì)任意的a∈[1，2），都存在x₀∈（0，1]使得不等式f（x₀）+e^a-$\frac{a}{2}$＞m成立，
等價(jià)于-$\frac{a}{2}$+e^a-$\frac{a}{2}$＞m恒成立，
令g（a）=e^a-a，a∈[1，2），
g'（a）=e^a-1＞0，
∴a∈[1，2）時(shí)，最小值為g（1）=e-1，
∴m＜e-1．

點(diǎn)評(píng) 考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)存在問題，恒成立問題的綜合應(yīng)用．