Question

1．已知直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點F，與橢圓相交于A，B兩點，且滿足$\frac{|AF|}{|BF|}$=2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，可得F（-1，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程3x²+4y²=12，可得x的方程，運用韋達定理，以及向量共線的坐標(biāo)表示，化簡可得k的方程，解方程可得k的值，進而得到所求直線l的方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得F（-1，0），當(dāng)直線l的斜率不存在時，|AF|=|BF|，不合題意；
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程3x²+4y²=12，可得
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，①
又$\frac{|AF|}{|BF|}$=2，即有$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，
可得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即有x₁+2x₂=-3，②
由①②消去x₁，x₂，可得
$\frac{16{k}^{4}-81}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
化簡可得4k²=5，解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1）．

點評 本題考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．