Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x\;，\;\;x≥0\\{x^2}+2x\;，\;\;x＜0\end{array}\right.$．
（1）畫出y=f（x）的圖象，并寫出單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)圖象討論關(guān)于x的方程f（x）=m的實(shí)根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得出該函數(shù)的對稱性，可以先畫出該函數(shù)在（0，+∞）上的圖象，利用對稱性得出該函數(shù)在整個定義域上的圖象；根據(jù)圖象觀察得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象求出關(guān)于x的方程f（x）=m的實(shí)根的個數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，
函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x\;，\;\;x≥0\\{x^2}+2x\;，\;\;x＜0\end{array}\right.$，即f（x）=x²-2|x|，
而f（-x）=（-x）²-2|-x|═x²-2|x|=f（x），
故該函數(shù)是偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對稱，
當(dāng)x≥0時，y=x²-2x，先畫出該部分的圖象，
利用對稱性得出該函數(shù)的完整的圖象．
據(jù)圖象寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-1，0），（1，+∞）；
（2）由（1）得：f（x）的最小值是f（1）=f（-1）=-1，
故m＜-1時，關(guān)于x的方程f（x）=m，無實(shí)數(shù)根，
m=-1時，關(guān)于x的方程f（x）=m，2個實(shí)數(shù)根，
-1＜m＜0時，關(guān)于x的方程f（x）=m，4個實(shí)數(shù)根，
m=0時，關(guān)于x的方程f（x）=m，3個實(shí)數(shù)根，
m＞0時，關(guān)于x的方程f（x）=m，2個實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用問題，考查函數(shù)奇偶性的判斷方法，考查函數(shù)圖象的作法，考查數(shù)形結(jié)合思想和等價轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．