Question

4．關于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，有下列三個命題：
①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$；
②若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
③$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow$=（3，4）方向上的投影為$\frac{1}{5}$；
④非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為60°．
其中真命題的序號為②③（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①當$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$時，結論不成立，
②根據(jù)向量數(shù)量積的公式進行化簡即可，
③根據(jù)向量投影的定義進行計算即可，
④根據(jù)向量加法和加法的幾何意義進行判斷即可．

解答 解：①當$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$時，滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，但$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$不一定成立，故①錯誤；
②若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，則|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=|1，則＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=180°|，即$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$成立．故②正確，
③$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow$=（3，4）方向上的投影為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-3+4}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{1}{5}$；故③正確，
④設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
以OA OB為鄰邊，作平行四邊形OACB，則 $\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，∠AOC為$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角．
由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，可得△OAB 為等邊三角形，故平行四邊形OACB為菱形，
∴∠AOC=30°
則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為30°．故④錯誤，
故答案為：②③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及平面向量的有關概念和運算，以及數(shù)量積的公式，考查學生的運算和推理能力．