Question

19．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒有①f（2）=1；②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0；③f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；       
（2）若f（t）+f（t-3）≤2，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法進(jìn)行判斷證明．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合抽象函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
則$\frac{x_2}{x_1}$＞1，故f（$\frac{x_2}{x_1}$）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0         （3分）
∴f（x₂）＞f（x₁）
所以f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)．                         （5分）
（2）∵f（2）=f（$\frac{4}{2}$）=f（4）-f（2）
∴f（4）=2f（2）=2
從而f（t）+f（t-3）≤f（4）
即f（t）≤f（$\frac{4}{t-3}$），
∵f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{t-3＞0}\\{t≤\frac{4}{t-3}}\end{array}\right.$                               （8分）
解得3＜t≤4
故t的取值范圍是（3，4]（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用問題，利用賦值法結(jié)合函數(shù)單調(diào)的定義是解決本題的關(guān)鍵．