Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時f（x）取得極值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（-x）=-f（x）可得d=0，得f（x）=ax³+cx，求出f'（x），得方程組，解出即可；
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，從而求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴由f（-x）=-f（x）可得d=0，
∴f（x）=ax³+cx…（2分）f'（x）=3ax²+c，
當(dāng)x=1時f（x）取得極值-2，
則

f′(1)=3a+c=0 f(1)=a+c=-2

，
解方程組得

a=1 c=-3

，
故所求解析式為f（x）=x³-3x．
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，
即增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間（-1，1）；
當(dāng)x=-1時，函數(shù)有極大值2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值問題，是的基礎(chǔ)題．