Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E為線段PC上靠近D的一個三等分點．
（1）證明：PC⊥面BDE；
（2）求三棱錐P-BED的體積V．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明OE⊥PC，由PA⊥平面ABC，由線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥BD，進而由線面垂直的判定定理得到PC⊥平面BDE；
（2）利用V_P-BED=V_P-BCD-V_E-BCD，可得結(jié)論．

解答： （1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
根據(jù)題意，△PAC中，PA=1，AC=

2

，PC=

3

，則EC=

3

3

，OC=

2

2

，
∴

EC

OC

=

AC

PC

=

6

3

，∠ECO=∠ACP，
∴△ECO∽△ACP，
∴OE⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，又BD?平面ABC
∴PA⊥BD，∵AC⊥BD，又AP∩AC=A
∴BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE；
（2）解：∵E為線段PC上靠近D的一個三等分點，
∴E到底面ABCD的距離為

1

3

，
∴V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×

1

3

=

1

18

，
∵V_P-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，
∴V_P-BED=V_P-BCD-V_E-BCD=

1

6

-

1

18

=

1

9

．

點評：熟練掌握線線，線面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，掌握錐體的體積公式是關(guān)鍵．