Question

5．已知圓B：（x-1）²+（y-1）²=2，過原點O作兩條不同的直線l₁，l₂與圓B都相交．
（1）從B分別作l₁，l₂的垂線，垂足分別為A，C，若$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=0$，$|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{BC}|$，求直線AC的方程；
（2）若l₁⊥l₂，且l₁，l₂與圓B分別相交于P，Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由平面幾何知識可知OABC為正方形，OB中點為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，OB斜率為1，即可求直線AC的方程；
（2）若l₁⊥l₂，且l₁，l₂與圓B分別相交于P，Q兩點，△OPQ的面積$S=\frac{1}{2}•|OP|•|OQ|=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}cosθ•2\sqrt{2}sinθ=2sin2θ≤2$，即可求△OPQ面積的最大值．

解答 解：（1）由平面幾何知識可知OABC為正方形，OB中點為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，OB斜率為1，
∴AC：x+y-1=0．
（2）∵OP⊥OQ，∴PQ為圓B的直徑，且$|OB|=|BP|=|BQ|=\sqrt{2}$，設∠OPQ=θ，
則$|OP|=2\sqrt{2}cosθ$，$|OQ|=2\sqrt{2}sinθ$，
∴△OPQ的面積$S=\frac{1}{2}•|OP|•|OQ|=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}cosθ•2\sqrt{2}sinθ=2sin2θ≤2$，
當且僅當$θ=\frac{π}{4}$時，S取得最大值2．

點評 本題考查直線方程，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．