Question

【題目】設f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且

f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達式.

Answer 1

【答案】(1) f(x)是偶函數(shù)(2)

【解析】試題分析：（1）因為f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f（x）是最小正周期為 2的函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(x)，則 f(－x)＝f(x)，所以得f（x）是偶函數(shù)；
（2）由-1≤x≤0時，f（x）=-x，根據(jù)f(x)是偶函數(shù)得當0≤x≤1時，f（x）解析式；由f（x）是最小正周期為 2的函數(shù)，得1≤x≤2時，f（x）解析式.

試題解析：

(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).

又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).

又f(x)的定義域為R，

∴f(x)是偶函數(shù).

(2)當x∈[0，1]時，－x∈[－1，0]，

則f(x)＝f(－x)＝x；

進而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

故