Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于在區(qū)間上恒成立，可得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減等價于在區(qū)間上恒成立，可得，綜合兩種情況可得結(jié)果；（2），由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以只需在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性討論的零點(diǎn)，從而可得結(jié)果．

試題解析：（1），

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時， 在區(qū)間上恒成立，

∴（其中），解得；

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減時， 在區(qū)間上恒成立，

∴（其中），解得．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（2）．

由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，

設(shè)該零點(diǎn)為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，

所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，

同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，

所以在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)．

由（1）知，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，不合題意．

當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，不合題意；

所以．

令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

記的兩個零點(diǎn)為， （），

因此， ，必有， ．

由，得，

所以，

又， ，

所以．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．